(Definisi, Teorema, Pembuktian Teorema, Contoh Aplikasinya)
Definisi
Turunan fungsi f adalah fungsi lain $f^{'}$ (dibaca "f aksen") yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰
Teorema Turunan
Berikut adalah aturan turunan / teorema turunan :
1. Turunan fungsi konstan
$f(x)=a, f^{'}(x)=0$
2. Turunan fungsi identitas
$f(x)=x, f^{'}(x)=1$
3. Turunan fungsi aljabar
$f(x)=x^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=nx^{n-1}$
$f(x)=ax^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=anx^{n-1}$
4. Turunan hasil kali konstantan dengan fungsi
$g(x)=kf(x), g^{'}(x)=kf{'}(x)$
5. Turunan jumlah atau selisih fungsi
$f(x)=u(x) \pm v(x), f^{'}(x)=u{'}(x) \pm v{'}(x)$
6. Turunan perkalian fungsi
$f(x)=u(x).v(x), f^{'}(x)=u{'}(x)v(x)+v{'}(x)u(x)$
7. Turunan pembagian fungsi
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, f^{'}(x)= \frac{u{'}(x)v(x)-v{'}(x)u(x)}{v(x)^2}$
1. Turunan fungsi konstan
$f(x)=a, f^{'}(x)=0$
2. Turunan fungsi identitas
$f(x)=x, f^{'}(x)=1$
3. Turunan fungsi aljabar
$f(x)=x^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=nx^{n-1}$
$f(x)=ax^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=anx^{n-1}$
4. Turunan hasil kali konstantan dengan fungsi
$g(x)=kf(x), g^{'}(x)=kf{'}(x)$
5. Turunan jumlah atau selisih fungsi
$f(x)=u(x) \pm v(x), f^{'}(x)=u{'}(x) \pm v{'}(x)$
6. Turunan perkalian fungsi
$f(x)=u(x).v(x), f^{'}(x)=u{'}(x)v(x)+v{'}(x)u(x)$
7. Turunan pembagian fungsi
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, f^{'}(x)= \frac{u{'}(x)v(x)-v{'}(x)u(x)}{v(x)^2}$
⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰
Pembuktian Teorema Turunan
1. Teorema 1.1
2. Teorema 1.2
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
$f(x)=a, f^{'}(x)=0$
$f(x)=x, f^{'}(x)=1$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
$f(x)=x^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=nx^{n-1}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
$f(x)=ax^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=anx^{n-1}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
4. Teorema 1.4
$g(x)=kf(x), g^{'}(x)=kf{'}(x)$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
5. Teorema 1.5
$f(x)=u(x) \pm v(x), f^{'}(x)=u{'}(x) \pm v{'}(x)$
6. Teorema 1.6
$f(x)=u(x).v(x), f^{'}(x)=u{'}(x)v(x)+v{'}(x)u(x)$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]-[u(x).v(x)]}{h})$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]-[u(x).v(x)]+u(x+h)v(x)-u(x+h)v(x)}{h})$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]-[u(x).v(x)]}{h})$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]+u(x+h)v(x)-u(x+h)v(x)-[u(x).v(x)]}{h})$
7. Teorema 1.7
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, f^{'}(x)= \frac{u{'}(x)v(x)-v{'}(x)u(x)}{v(x)^2}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
Contoh Aplikasi Turunan
1. Aplikasi turunan : Metode Newton (klik di sini)
2. Aplikasi turunan : Masalah Optimalisasi (klik di sini)
3. Aplikasi turunan : Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama (klik di sini)
4. Aplikasi turunan : Kecekungan dan Uji Turunan Ke dua (klik di sini)
5. Aplikasi turunan : Teorema Rolle dan Teorema Rata-rata (klik di sini)
6. Aplikasi turunan : Nilai Ekstrim Fungsi pada Suatu Selang (klik di sini)
$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
$f^{'}(x)=0$
Contoh Aplikasi Turunan
1. Aplikasi turunan : Metode Newton (klik di sini)
2. Aplikasi turunan : Masalah Optimalisasi (klik di sini)
3. Aplikasi turunan : Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama (klik di sini)
4. Aplikasi turunan : Kecekungan dan Uji Turunan Ke dua (klik di sini)
5. Aplikasi turunan : Teorema Rolle dan Teorema Rata-rata (klik di sini)
6. Aplikasi turunan : Nilai Ekstrim Fungsi pada Suatu Selang (klik di sini)
