Turunan Fungsi Eksponesial Asli

Turunan Fungsi Eksponensial Asli

(bilangan dasar e)

$y=ln$ $x$ sehingga $x=e^{y}$
Sifat Eksponensial Asli:
$1.1.$    $ln$ $e$ $=1$

$1.2.$    $y= e^{x}$ sehingga $x=ln$ $y$
Bukti:
$y= e^{x}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln$ $y= ln $ $e^{x}$
$ln$ $y=x.ln$ $e$, berdasarkan sifat 1 maka
$ln$ $y=x.1$
$ln$ $y=1$

$1.3.$    $y=e^{ln\:x}$ maka $y = x$
kedua ruas dikenakan ln
$ln\:y=ln$ $e^{ln\:x}$
$ln\:y=ln$ $x.ln e$
$ln\:y=ln$ $x.1$
$ln\:y=ln$ $x$
kedua ruas dikenakan e menjadi
$e^{ ln\:y}= e^{ln x}$
$y = x$ (terbukti)

Sifat Turunan Eksponensial Asli
$2.1$.    $y=e^{x}$ maka $y’=e^{x}$
Bukti:
$ln \:y=ln e^{x}$
$ln \:y=x ln\:e$
$ln \:y=x$
kedua ruas diturunkan.
$\frac{y’}{ y}=1$
$y’=y, y=e^{x}$
$maka y’= e^{x}$

$2.2.$    $y= e^{u(x)}$ maka $y’= u’(x).e^{u(x)}$
Bukti:
$y= e^{u(x)}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln \:y=ln\:e^{\:u(x)}$
$ln \:y=u(x).ln\:e$
$ln \:y=u(x).1$
$ln \:y=u(x)$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=u’(x)$
$y’=u’(x).y, y=e^{u(x)}$
$y’=u’(x). e^{u(x)}$

contoh:
$1.$    Carilah turunan $y=e^{3x^{2}+6}$!
penyelesaian:
misal $u(x)= 3x^{2}+6, u’(x)=6x$
menggunakan sifat 2.2
$y’= u’(x).e^{u(x)}$
$y’=6x.e^{3x^{2}+6}$