Turunan Fungsi Trigonometri

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan identitas penjumlahan sudut:

$sin\: (x\:+\:h) \: =\: sin\:x. \:cos\: h \:+\: cos\: x. \:sin\: h$
$cos \: (x\:+\:h) \: =\: cos \:x. \:cos \:h \:-\: sin\: x.cos \:x$

1. Turunan Fungsi Sinus
$f(x) \:=\: sin\: x,\: f'(x)\: =\: cos\: x$
Bukti:
$\frac{d}{dx}sin\: x\: =\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: (x\: +\: h)\: -\: sin\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: .\: cos\: h\: +\: cos\: x\: .\: sin\: h\: -\: sin\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: (cos\: h\: -\: 1)\: +\: cos\: x\: .\: sin\: h }{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: (cos \:h\: -\: 1)}{h}\: +\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{cos\: x\: . \: sin\: h }{h})$
$= sin\: x\: . \: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{(cos\: h\: -\: 1)}{h}\: +\: cos\: x\: . \:  \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: h }{h}$
$= sin\: x\: . \: 0\: +\: cos\: x\: .\: 1$
$= cos\: x$

2. Turunan Fungsi Cosinus
$f(x) \: =\: cos\: x,\: f'(x) \: =\: -sin\: x$
Bukti:
$\frac{d}{dx}cos\: x =\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{cos\: (\:x\:+\:h\:)\:-\:cos\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\:.\:cos\: h\: -\: sin\: x\:.\:sin\: h\: -\: cos\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\: (cos\: h\: -\: 1) \: -\: sin\: x\:.\:sin\: h }{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\: (cos\: h\: -\: 1)}{h}\: -\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\:.\:sin\: h }{h})$
$= cos\: x \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{(cos\: h\: -\: 1)}{h}\: -\: sin\: x\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: h }{h})$
$= cos\: x\: . \: 0\: -\: sin\: x\: . \: 1$
$= - sin\: x$

B. Turunan Fungsi Tangen, Cotangen, Secan, Cosecan
1. Turunan Fungsi Tangen
$f(x)\: =\: tan\: x\: =\: \frac{sin\: x}{cos\: x}, f'(x) \: =\:  sec^{2}\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: sin\: x$ dan $v\: =\: cos\: x,\: u'\: =\: cos\: x\:$ dan $v'\: =\: -sin\: x
$ Maka
$f(x)\: =\: \frac{u}{v}
$ $\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'.v\: -\: v'.u}{v^2}$
$= \frac{cos\: x.cos\: x\: -\: (-sin\: x.sin\: x )}{cos^2\: x}$
$= \frac{cos^2\: x\: +\: sin^2\: x ) }{cos^2\: x}$
$= \frac{1}{cos^2\: x}$
$= sec^2\: x$


2. Turunan Fungsi Cotangen
$f(x)\: =\: cot\: x\: =\: \frac{sin\: x}{cos\: x},\:  f'(x) \: =\: -cosec^2\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: cos\: x$ dan $v\: =\: sin\: x, \: u'\: =\: -sin\: x$ dan $v'\: =\: cos\: x$
Maka
$f(x) \: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{-sin\: x.sin\: x\: -\: cos\: x.cos\: x )}{sin^2\: x}$
$= \frac{-(sin^2\: x\: +\: cos^2\: x) }{sin^2\: x}$
$= \frac{-1}{sin^2 x}$
$= -cosec^2\: x$

3. Turunan Fungsi Secan
$f(x)\: =\: sec\: x\: =\: \frac{1}{cos\:x},\: f'(x) \: = sec\: x tan\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: 1\: dan\: v\: =\: cos\: x, \: u'\: =\: 0$ dan $v'\: =\: -sin\: x$
Maka
$f(x) \: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{0.cos\: x\: -\:(-sin\: x.1 )}{cos^2\: x}$
$= \frac{sin\: x) }{cos x^2}$
$= \frac{sin\: x) }{cos x^2}.\: \frac{1) }{cos\: x}$
$= sec\: x. tan\: x$

4. Turunan Fungsi Cosecan
$f(x)\: =\: cosec\: x\: =\: \frac{1}{sin\: x},\: f'(x)\: =\: -cosec\: x.cot\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: 1$ dan $v\: =\: sin\: x, \: u'\: =\: 0$ dan $v'\: =\: cos\: x$
Maka
$f(x)\: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v} =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{0.sin\: x\: -\: (cos\: x.\:1)}{sin^2\: x}$
$= \frac{-cos\: x)}{sin^2\: x}$
$= -\frac{cos\: x) }{sin\: x}.\: \frac{1)}{sin\: x}$
$= -cosec\: x .cot\: x$