TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
A. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan identitas penjumlahan sudut:
sin(x+h)=sinx.cosh+cosx.sinhcos(x+h)=cosx.cosh−sinx.cosx
1. Turunan Fungsi Sinus
f(x)=sinx,f′(x)=cosx
Bukti:
ddxsinx=limx→∼sin(x+h)−sinxh
=limx→∼sinx.cosh+cosx.sinh−sinxh
=limx→∼sinx(cosh−1)+cosx.sinhh
=limx→∼sinx(cosh−1)h+limx→∼cosx.sinhh)
=sinx.limx→∼(cosh−1)h+cosx.limx→∼sinhh
=sinx.0+cosx.1
=cosx
2. Turunan Fungsi Cosinus
f(x)=cosx,f′(x)=−sinx
Bukti:
ddxcosx=limx→∼cos(x+h)−cosxh
=limx→∼cosx.cosh−sinx.sinh−cosxh
=limx→∼cosx(cosh−1)−sinx.sinhh
=limx→∼cosx(cosh−1)h−limx→∼sinx.sinhh)
=cosxlimx→∼(cosh−1)h−sinxlimx→∼sinhh)
=cosx.0−sinx.1
=−sinx
B. Turunan Fungsi Tangen, Cotangen, Secan, Cosecan
1. Turunan Fungsi Tangen
f(x)=tanx=sinxcosx,f′(x)=sec2x
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan u=sinx dan v=cosx,u′=cosx dan v′=−sinx Maka
f(x)=uv ddxuv=u′.v−v′.uv2
=cosx.cosx−(−sinx.sinx)cos2x
=cos2x+sin2x)cos2x
=1cos2x
=sec2x
2. Turunan Fungsi Cotangen
f(x)=cotx=sinxcosx,f′(x)=−cosec2x
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan u=cosx dan v=sinx,u′=−sinx dan v′=cosx
Maka
f(x)=uv
ddxuv=u′v−v′uv2
=−sinx.sinx−cosx.cosx)sin2x
=−(sin2x+cos2x)sin2x
=−1sin2x
=−cosec2x
3. Turunan Fungsi Secan
f(x)=secx=1cosx,f′(x)=secxtanx
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan u=1danv=cosx,u′=0 dan v′=−sinx
Maka
f(x)=uv
ddxuv=u′v−v′uv2
=0.cosx−(−sinx.1)cos2x
=sinx)cosx2
=sinx)cosx2.1)cosx
=secx.tanx
4. Turunan Fungsi Cosecan
f(x)=cosecx=1sinx,f′(x)=−cosecx.cotx
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan u=1 dan v=sinx,u′=0 dan v′=cosx
Maka
f(x)=uv
ddxuv=u′v−v′uv2
=0.sinx−(cosx.1)sin2x
=−cosx)sin2x
=−cosx)sinx.1)sinx
=−cosecx.cotx
0 comments:
Post a Comment