Turunan Fungsi Logaritma Umum

Turunan Fungsi Logaritma Umum

Sifat:

$y=^{a}log x$, maka $y’=\frac{1}{ x.ln a}$ , dengan $a>0$, a tidak sama dengan 1
Bukti:
$y=^{a}log x$ maka $x=a^{y}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln x=ln a^{y}$
$ln x=y ln a$
$y=\frac{ln x}{ ln a}$
kedua ruas diturunkan
$y’=\frac{1}{ ln a}.\frac{1}{x}=\frac{1}{x.ln a}$
(terbukti)

$y=^{a}log(u(x))$ maka $y’=\frac{u’(x)}{u(x). ln a}$
Bukti:
$y=^{a}log(u(x))$
$y=\frac{ln u(x)}{ln a}$
kedua ruas diturunkan
$y’=\frac{1}{ ln a}.\frac{1}{ u(x)}.u’(x)$
$y’=\frac{u’(x)}{u(x). ln a}$

contoh:
Carilah turunan $y=^{3}log(sin x^{2})$!
Penyelesaian:
$y=^{3}log(sin x^{2})$
$y=\frac{ln sin x^{2}}{ln 3}$, misalkan $u(x)= sin x^{2}, u’(x)=2x.cos x^{2}$
$y=\frac{ln u(x)}{ln 3}$
$y=ln u(x). \frac{1}{ln 3}$
kedua ruas diturunkan, maka
$y’=\frac{1}{ln 3}.\frac{1}{ u(x)}.u’(x)$
$y’=\frac{1}{ln 3}.\frac{1}{ sin x^{2}}.2x.cos x^{2}$
$y’=\frac{2x.cos x^{2}}{ln 3. sin x^{2}}, \frac{cos x^{2}}{sin x^{2}}=cot x^{2}$
$y’=\frac{2x}{ln 3}cot x^{2}$.