Fungsi Turunan dan Pembuktian Teorema Turunan

~ Turunan ~

(Definisi, Teorema, Pembuktian Teorema, Contoh Aplikasinya)

Definisi

Turunan fungsi f adalah fungsi lain $f^{'}$ (dibaca "f  aksen") yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah 

$f^{{}^{\prime }}(c)=\frac{dy}{dx}=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}(\frac{f(c+h)-<!--\; -\; -->f(c)}{h})$

asalkan limit ada.

⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰

Teorema Turunan

Berikut adalah aturan turunan / teorema turunan :

1. Turunan fungsi konstan
       $f(x)=a, f^{'}(x)=0$
2. Turunan fungsi identitas
       $f(x)=x, f^{'}(x)=1$
3. Turunan fungsi aljabar
       $f(x)=x^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=nx^{n-1}$
       $f(x)=ax^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=anx^{n-1}$
4. Turunan hasil kali konstantan dengan fungsi
       $g(x)=kf(x), g^{'}(x)=kf{'}(x)$
5. Turunan jumlah atau selisih fungsi
       $f(x)=u(x) \pm v(x), f^{'}(x)=u{'}(x) \pm v{'}(x)$
6. Turunan perkalian fungsi
       $f(x)=u(x).v(x), f^{'}(x)=u{'}(x)v(x)+v{'}(x)u(x)$
7. Turunan pembagian fungsi
       $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, f^{'}(x)= \frac{u{'}(x)v(x)-v{'}(x)u(x)}{v(x)^2}$

   
 ⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰⟰

Pembuktian Teorema Turunan

1. Teorema 1.1

$f(x)=a, f^{'}(x)=0$

Tampilkan Pembuktian

      $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
      $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
      $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
      $f^{'}(x)=0$

2. Teorema 1.2

$f(x)=x, f^{'}(x)=1$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
       $f^{'}(x)=0$

3. Teorema 1.3

$f(x)=x^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=nx^{n-1}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
       $f^{'}(x)=0$  

$f(x)=ax^{n}, x \in \mathbb{R}, f^{'}(x)=anx^{n-1}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
       $f^{'}(x)=0$
      

4. Teorema 1.4

$g(x)=kf(x), g^{'}(x)=kf{'}(x)$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
       $f^{'}(x)=0$

5. Teorema 1.5

$f(x)=u(x) \pm v(x), f^{'}(x)=u{'}(x) \pm v{'}(x)$

6. Teorema 1.6

$f(x)=u(x).v(x), f^{'}(x)=u{'}(x)v(x)+v{'}(x)u(x)$

$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]-[u(x).v(x)]}{h})$

$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]-[u(x).v(x)]+u(x+h)v(x)-u(x+h)v(x)}{h})$

$f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}(\frac{[u(x+h).v(x+h)]+u(x+h)v(x)-u(x+h)v(x)-[u(x).v(x)]}{h})$

7. Teorema 1.7

$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, f^{'}(x)= \frac{u{'}(x)v(x)-v{'}(x)u(x)}{v(x)^2}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-a}{h}$
       $f^{'}(x)=\lim_{h \to 0}0$
       $f^{'}(x)=0$

Contoh Aplikasi Turunan
1. Aplikasi turunan : Metode Newton (klik di sini) 
2. Aplikasi turunan : Masalah Optimalisasi (klik di sini)
3. Aplikasi turunan : Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama (klik di sini)
4. Aplikasi turunan : Kecekungan dan Uji Turunan Ke dua (klik di sini)
5. Aplikasi turunan : Teorema Rolle dan Teorema Rata-rata (klik di sini)
6. Aplikasi turunan : Nilai Ekstrim Fungsi pada Suatu Selang (klik di sini)