... selanjutnya (B. Turunan Fungsi Invers cos (x))

B. Turunan Fungsi Invers cos (x)
1) Invers Fungsi Cos (x)

$y\: =\: cos\: x\: \Leftrightarrow\: x\: =\: arccos\: (y).$
Syarat agar fungsi memiliki invers, maka fungsinya harus monoton dan bijektif $(x_{1} < x_{2}= f(x_{1})< f(x_{2}))$, dan domainnya dibatasi yaitu:
$-1 \leq y \leq 1$  dan  $ 0 \leq  x \leq \pi$  atau  $\pi \leq  x \leq 2 \pi$

Dengan demikian diperoleh fungsi invers dari $y\:=\:cos\: x$ adalah $y\:=\:arccos\: x.$

2) Turunan Fungsi Invers Cos (x)
$y\:=arccos\:(x)$
$y’\:= \:-\frac{1}{ \sqrt{1\:-\:x^{2}}}$, dengan $\mid x \mid \:<\: 1$

Pembuktian:
$y\:=\:arccos\:(x)\: \Leftrightarrow\: x\:=\:cos\:y$
kedua ruas diturunkan
$dx\: =\: -sin\: y\: dy$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{-sin\: y},\: sin\: y\: =\: \sqrt{1\:-\:x^{2}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{- \sqrt{1\:-\:x^{2}}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: - \frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}, \mid x \mid \:<\: 1$

$\therefore y\:=\:arccos\:(x)$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{ \sqrt{1-x^{2}}}$(terbukti)

$\therefore y\:=\:arccos\:(u(x))$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: -\frac{u’(x)}{\sqrt{1\:-\:u(x)^{2}}}$

Contoh:
1. Carilah turunan fungsi $y\:=\:arccos\:(x^{2}\:+\:1)$
Misalkan $u(x)\:=\:(x^{2}\:+\:1), \:u’(x)\:=\:2x$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: - \frac{2x}{\sqrt{1\:-\:((x^{2}\:+\:1))^{2}}}$

... selanjutnya (C. Turunan Fungsi Invers Tan (x))