Turunan Fungsi Eksponensial Umum

Turunan Fungsi Eksponensial Umum

(bilangan dasar a)

Sifat
$1.\:    y=a^{x}$ maka $y’= a^{x}ln\:a$, dengan $a>0$, $a\neq 1$
Bukti:
$y=a^{x}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln\:y=ln\:a^{x}$
$ln\:y=x. \:ln\:a$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=1. \:ln \:a$
$y’=y. \:ln \:a, y=a^{\:x}$
$y’= a^{\:x} ln \:a$
(terbukti)

$2.\:    y=a^{\:u(x)}$ maka $y’= a^{\:u(x)}. \:u’(x). \:ln\: a$
Bukti:
$y=a^{\:u(x)}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln \:y=ln \:a^{\:u(x)}$
$ln \:y= u(x). \:ln\: a$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=u’(x). \:ln\: a$
$y’= y. \:u’(x).ln\: a$, dimana $y=a^{\:u(x)}$
$y’= a^{\:u(x)}. \:u’(x).ln\: a$
(terbukti)

contoh:
$1.\:    Carilah \:turunan dari y= 3^{\:x^{2}\:+\:ln \:x}!$
Penyelesaian:
$y= 3^{\:x^{2}\:+\:ln\: x}$
misal $u(x)= x^{2}+ln\: x, u’(x)=2x\:+\:\frac{1}{x}$
$y=3^{\:u(x)}$
$y’=3^{\:u(x)}. \:u’(x). \:ln\: 3$
$y’=(2x\:+\:\frac{1}{x}).\:3^{\:x^{2}\:+\:ln \:x }.\:ln \:3$