Turunan Fungsi Invers Trogonometri

TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Persamaan $sin\: x\: =\: \frac{1}{2}$ maka $ \frac{1}{2}\: =\: arcsin\: x.$ arc adalah invers dari fungsi trigonometri. 

A. Turunan Fungsi Invers sin (x)
1) Invers Fungsi sin (x)
$y\: =\: sin\: x \Leftrightarrow x\: =\: arcsin(y)$,

Syarat agar fungsi memiliki invers, maka fungsinya harus monoton dan bijektif $(x_{1}\: <\: x_{2}\: =\: f(x_{1})\: <\: f(x_{2}))$, dan domainnya dibatasi yaitu:
$-1\: \leq\: y\: \leq 1$ dan $-\frac{\Pi}{ 2}\: \leq\:  x\: \leq\: \frac{\Pi}{ 2}$

Dengan demikian fungsi invers dari $y\: =\: sin\: x$ adalah $y\: =\: arcsin\: x$ dan domainnya adalah:
$-1\: \leq\: x\: \leq\: 1$ $-\frac{\Pi}{ 2}\: \leq\:  y\: \leq\: \frac{\Pi}{ 2}$

2) Turunan Fungsi Invers Fungsi sin (x)
$y\:\: =\: arcsin\:(x) $
$y’\: =\: \frac{1}{ \sqrt{1\: -\: x^{2}}}$, dengan $\mid x \mid\: <\: 1$

Pembuktian:
$y\: =\: arcsin\:(x)\: \Leftrightarrow \: x\: =\: sin\: y$
kedua ruas diturunkan
$dx\: =\: cos\: y\: dy$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{cos\: y}, cos\: y\: =\: \sqrt{1\: -\: x^{2}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{ \sqrt{1\: -\: x^{2}}}$

$\therefore \: y\: =\: arcsin\: (u(x))$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{u’}{\sqrt{1\: -\: u^{2}}}$

Contoh:
1. Carilah turunan fungsi $y\: =\: arcsin\: (x^{2}\: +\: 1)$
Penyelesaiannya:
Misalkan $u(x)\: =\: (x^{2}\: +\: 1),\: u’(x)\: =\: 2x$
$y’\: =\: \frac{2x}{\sqrt{1\: -\: ((x^{2}\: +\: 1))^{2}}}$

... selanjutnya (B. Turunan Fungsi Invers cos (x))