... selanjutnya (C. Turunan Fungsi Invers Tan (x))

C. Turunan Fungsi Invers Tan (x)
1) Invers Fungsi Tan (x)
$y\:=\:tan\: x\: \Leftrightarrow\: x\:=\:arctan\: y,$
invers $y\:=\:arctan\: x.$

2) Turunan Invers Fungsi Tan (x)
$y\:=\:arctan\: x\:  \Leftrightarrow\: y’\:=\: \frac{dy}{dx}\:=\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}$
Pembuktian:
$y\:=\:arctan\: x\: \Leftrightarrow\: x\:=\: tan\: y$
$x\:=\: tan\: y$
kedua ruas diturunkan
$dx\:=\: sec^{2}\:y\: dy$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{ sec^{2}\:y }\: =\: \frac{1}{1\:+\: tan^{2}\:y}$
$tan\: y\: =\: x$, maka
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{1\:+ x^{2}}$

$\therefore\: y\:=\:arctan\:(x)$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{1\:+\:x^{2}}$ (terbukti)

$y\:=\:arctan\:(u(x))$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: \frac{u’(x)}{\sqrt{1\:+\:u(x)^{2}}}$

D. Turunan Fungsi Invers Cot (x)
1) Invers Fungsi Cot (x)
$y\:=\:cot\: x\: \Leftrightarrow \:x\:=\:arccot\: y$,
invers $y\:=\:arccot\:x$

2) Turunan Invers Fungsi Cot (x)
$y\: =\:arccot\: x\:  \Leftrightarrow\: y’\:=\: \frac{dy}{dx}\:=\:- \frac{1}{1\:+\:x^{2}}$
Pembuktian:
$y\: =\: arccot\: x\: \Leftrightarrow\: x\:=\: cot\: y,\: cot\: y\:=\: \frac{1}{tan\: y}$
$x\: =\: cot\: y\: =\: \frac{1}{tan\: y},\: tan\: y\: =\: \frac{1}{x}$

sehingga
$y \:=\:arccot\: x\: =\:arctan\: \frac{1}{x}$
menggunakan sifat tangen diperoleh
$y’\: =\: \frac{-\frac{1}{x^{2}}}{1\:+\:\frac{1}{x^{2}}}$
$y’\: =\: -\frac{1}{x^{2}}. \frac{x^{2}}{ \frac{1}{x^{2}}\:+\:1}$
$y’\: =\: -\frac{1}{1\:+\:x^{2}}$

$\therefore \:y\:=\:arccot\: (x)$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\:=\:- \frac{1}{1\:+\:x^{2}}$ (terbukti)

$\therefore \:y\:=\:arccot\:(u(x))$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: = \:-\frac{u’(x)}{\sqrt{1\:+\:u(x)^{2}}}$


E. Turunan Fungsi Invers Sec (x)
1) Invers Fungsi Sec (x) 
$y\:=\:sec\: x\: \Leftrightarrow \:x\:=\:arcsec\: y$,
invers $y\:=\:arcsec\:x$

2) Turunan Invers Fungsi Sec (x)
$y\: =\: arcsec x\: \Leftrightarrow\: y’\: =\:  \frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$
Pembuktian:
$y\: =\: arcsec\: x \Leftrightarrow x\: =\: sec\: y, sec\: y\: =\: \frac{1}{cos\: y}$
$y\: =\: arccos\: \frac{1}{x} $

menggunakan turunan cos u, maka diperoleh:
$y’\: =\: \frac{- \frac{1}{x^{2}}}{- \sqrt{1\: -\: \frac{1}{x}^{2}}}$
$y’\: = \:\frac{ \mid x \mid }{x^{2} . \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$
$y’\: = \:\frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$, dengan syarat $\mid x \mid > 1$

$\therefore y \:=\: arcsec\: x$
$y’\: =\:  \frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$(terbukti)

$\therefore\: y\: =\: arcsec\: u(x)$
$y’\: =\:  \frac{u’}{\mid u \mid \sqrt{u^{2}\:-\:1}}$(terbukti)

F. Turunan Fungsi Invers Cosec (x)
1) Invers Fungsi Cosec (x)

$y\:=\:cosec\: x\: \Leftrightarrow \:x\:=\:arccosec\: y$,
invers $y\:=\:arccosec\:x$

2) Turunan Invers Fungsi Cosec (x)
$y\: =\: arccosec\: x\: \Leftrightarrow \:y’\: = \: -\frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$
Pembuktian:
$y \:=\: arccosec\: x\: \Leftrightarrow\: x\: =\: cosec\: y,\: cosec\: y\: =\: \frac{1}{sin\: y}$
$y \:=\: arcsin\: \frac{1}{x}$

menggunakan turunan sin u, maka diperoleh:
$y’\: =\: - \frac{1}{x^{2}} . \frac{1}{\sqrt{1\:-\: \frac{1}{x^{2}}}}$

$y’\: = \: -\frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$

$\therefore y\: = \:arcsec\: x$
$y’\: =\:  -\frac{1}{\mid x \mid \sqrt{x^{2}\:-\:1}}$(terbukti)

$\therefore y \:=\: arcsec \:u(x)$
$y’\: = \:-\frac{u’}{\mid u \mid \sqrt{u^{2}\:-\:1}} $

Read More

... selanjutnya (B. Turunan Fungsi Invers cos (x))

B. Turunan Fungsi Invers cos (x)
1) Invers Fungsi Cos (x)

$y\: =\: cos\: x\: \Leftrightarrow\: x\: =\: arccos\: (y).$
Syarat agar fungsi memiliki invers, maka fungsinya harus monoton dan bijektif $(x_{1} < x_{2}= f(x_{1})< f(x_{2}))$, dan domainnya dibatasi yaitu:
$-1 \leq y \leq 1$  dan  $ 0 \leq  x \leq \pi$  atau  $\pi \leq  x \leq 2 \pi$

Dengan demikian diperoleh fungsi invers dari $y\:=\:cos\: x$ adalah $y\:=\:arccos\: x.$

2) Turunan Fungsi Invers Cos (x)
$y\:=arccos\:(x)$
$y’\:= \:-\frac{1}{ \sqrt{1\:-\:x^{2}}}$, dengan $\mid x \mid \:<\: 1$

Pembuktian:
$y\:=\:arccos\:(x)\: \Leftrightarrow\: x\:=\:cos\:y$
kedua ruas diturunkan
$dx\: =\: -sin\: y\: dy$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{-sin\: y},\: sin\: y\: =\: \sqrt{1\:-\:x^{2}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{- \sqrt{1\:-\:x^{2}}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: - \frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}, \mid x \mid \:<\: 1$

$\therefore y\:=\:arccos\:(x)$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{ \sqrt{1-x^{2}}}$(terbukti)

$\therefore y\:=\:arccos\:(u(x))$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: -\frac{u’(x)}{\sqrt{1\:-\:u(x)^{2}}}$

Contoh:
1. Carilah turunan fungsi $y\:=\:arccos\:(x^{2}\:+\:1)$
Misalkan $u(x)\:=\:(x^{2}\:+\:1), \:u’(x)\:=\:2x$
$y’\:=\: \frac{dy}{dx}\: =\: - \frac{2x}{\sqrt{1\:-\:((x^{2}\:+\:1))^{2}}}$

... selanjutnya (C. Turunan Fungsi Invers Tan (x)) 

Read More

Turunan Fungsi Invers Trogonometri

TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Persamaan $sin\: x\: =\: \frac{1}{2}$ maka $ \frac{1}{2}\: =\: arcsin\: x.$ arc adalah invers dari fungsi trigonometri. 

A. Turunan Fungsi Invers sin (x)
1) Invers Fungsi sin (x)
$y\: =\: sin\: x \Leftrightarrow x\: =\: arcsin(y)$,

Syarat agar fungsi memiliki invers, maka fungsinya harus monoton dan bijektif $(x_{1}\: <\: x_{2}\: =\: f(x_{1})\: <\: f(x_{2}))$, dan domainnya dibatasi yaitu:
$-1\: \leq\: y\: \leq 1$ dan $-\frac{\Pi}{ 2}\: \leq\:  x\: \leq\: \frac{\Pi}{ 2}$

Dengan demikian fungsi invers dari $y\: =\: sin\: x$ adalah $y\: =\: arcsin\: x$ dan domainnya adalah:
$-1\: \leq\: x\: \leq\: 1$ $-\frac{\Pi}{ 2}\: \leq\:  y\: \leq\: \frac{\Pi}{ 2}$

2) Turunan Fungsi Invers Fungsi sin (x)
$y\:\: =\: arcsin\:(x) $
$y’\: =\: \frac{1}{ \sqrt{1\: -\: x^{2}}}$, dengan $\mid x \mid\: <\: 1$

Pembuktian:
$y\: =\: arcsin\:(x)\: \Leftrightarrow \: x\: =\: sin\: y$
kedua ruas diturunkan
$dx\: =\: cos\: y\: dy$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{cos\: y}, cos\: y\: =\: \sqrt{1\: -\: x^{2}}$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{1}{ \sqrt{1\: -\: x^{2}}}$

$\therefore \: y\: =\: arcsin\: (u(x))$
$\frac{dy}{dx}\: =\: \frac{u’}{\sqrt{1\: -\: u^{2}}}$

Contoh:
1. Carilah turunan fungsi $y\: =\: arcsin\: (x^{2}\: +\: 1)$
Penyelesaiannya:
Misalkan $u(x)\: =\: (x^{2}\: +\: 1),\: u’(x)\: =\: 2x$
$y’\: =\: \frac{2x}{\sqrt{1\: -\: ((x^{2}\: +\: 1))^{2}}}$

... selanjutnya (B. Turunan Fungsi Invers cos (x))

Read More

Turunan Fungsi Hiperbolik

TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK

1. Turunan Fungsi Sinus Hiperbolik
$\therefore \: \frac{dy}{dx}\: sinh\: x\: =\: \frac{e^{x}\: +\: e^{-x}}{2}\: =\: cosh\: x$
$y\:\:   =\: sinh\: x$
$y\:\:   =\: \frac{e^{x}\: -\:  e^{-x}}{2}$
$y’\: =\: \frac{e^{x}\: +\: e^{-x}}{2}$

2. Turunan Fungsi Cosinus Hiperbolik
$\therefore \: \frac{dy}{dx}\: cosh\: x\: =\: \frac{e^{x}\: -\:  e^{-x}}{2}\:=\: sinh\: x$
$y\:\: =\: cosh\: x$
$y\:\: =\: \frac{e^{x}\: +\: e^{-x}}{2}$
$y’\: =\: \frac{e^{x}\: -\:  e^{-x}}{2}$

3. Turunan Fungsi Tangen Hiperbolik
$\therefore \: \frac{dy}{dx}\: tanh\: x\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}+1}^{2}\:=\: sech^{2}\: x$
$y\:\: =\: tanh\: x$
$y\:\: =\: \frac{sinh\: x}{cosh\: x}$
$y\:\: =\: \frac{ e^{x}\: -\: e^{-x}}{ e^{x}\: +\:  e^{-x}}$
$y’\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}+1}^{2}$

4. Turunan Fungsi Cotangen Hiperbolik
$\therefore \: \frac{dy}{dx}\: coth\: x\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}^{2}\:=\: -cosech^{2}\: x$
$y\:\: =\: coth\: x$
$y\:\: =\: \frac{1}{tanh\: x}$
$y\:\: =\: \frac{e^{x}\: +\:  e^{-x}}{ e^{x}\: -\:  e^{-x}}$
$y’\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}^{2}$

5. Turunan Fungsi Secan Hiperbolik
$\therefore \: \frac{dy}{dx}\: sech\: x\:=\: -\frac{2e^{x}}{e^{2x}\: +\: 1}\: . \: \frac{e^{x}\: -\: e^{-x}}{ e^{x}\: +\:  e^{-x}}\: =\: -sech\: x\: . \: tanh\: x$
$y\:\: = sech\: x$
$y\:\: =\: \frac{1}{cosh\: x}$
$y\:\: =\: \frac{2}{e^{x}\: +\:  e^{-x}}$
$y\:\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: +\:1}$
$y’\: =\: -\frac{2e^{x}}{e^{2x}\: +\: 1}\: . \: \frac{e^{x}\: -\: e^{-x}}{ e^{x}\: +\:  e^{-x}}$

6. Turunan Fungsi Cosecan Hiperbolik
$\therefore\: \frac{dy}{dx}\: cosech\: x\:=\: -\frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}\: . \: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}^{2}\: =\: -cosech\: x\: . \: coth\: x$
$y\:\: =\: cosech\: x$
$y\:\: =\: \frac{1}{sinh\: x}$
$y\:\: =\: \frac{2}{e^{x}\: -\:  e^{-x}}$
$y\:\: =\: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}$
$y’\: =\: -\frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}\: . \: \frac{2e^{x}}{e^{2x}\: -\: 1}^{2}$

Read More

Turunan Fungsi Trigonometri

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

A. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan identitas penjumlahan sudut:

$sin\: (x\:+\:h) \: =\: sin\:x. \:cos\: h \:+\: cos\: x. \:sin\: h$
$cos \: (x\:+\:h) \: =\: cos \:x. \:cos \:h \:-\: sin\: x.cos \:x$

1. Turunan Fungsi Sinus
$f(x) \:=\: sin\: x,\: f'(x)\: =\: cos\: x$
Bukti:
$\frac{d}{dx}sin\: x\: =\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: (x\: +\: h)\: -\: sin\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: .\: cos\: h\: +\: cos\: x\: .\: sin\: h\: -\: sin\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: (cos\: h\: -\: 1)\: +\: cos\: x\: .\: sin\: h }{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\: (cos \:h\: -\: 1)}{h}\: +\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{cos\: x\: . \: sin\: h }{h})$
$= sin\: x\: . \: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{(cos\: h\: -\: 1)}{h}\: +\: cos\: x\: . \:  \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: h }{h}$
$= sin\: x\: . \: 0\: +\: cos\: x\: .\: 1$
$= cos\: x$

2. Turunan Fungsi Cosinus
$f(x) \: =\: cos\: x,\: f'(x) \: =\: -sin\: x$
Bukti:
$\frac{d}{dx}cos\: x =\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{cos\: (\:x\:+\:h\:)\:-\:cos\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\:.\:cos\: h\: -\: sin\: x\:.\:sin\: h\: -\: cos\: x}{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\: (cos\: h\: -\: 1) \: -\: sin\: x\:.\:sin\: h }{h}$
$= \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{ cos\: x\: (cos\: h\: -\: 1)}{h}\: -\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: x\:.\:sin\: h }{h})$
$= cos\: x \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{(cos\: h\: -\: 1)}{h}\: -\: sin\: x\: \lim_{x\rightarrow \sim}\: \frac{sin\: h }{h})$
$= cos\: x\: . \: 0\: -\: sin\: x\: . \: 1$
$= - sin\: x$

B. Turunan Fungsi Tangen, Cotangen, Secan, Cosecan
1. Turunan Fungsi Tangen
$f(x)\: =\: tan\: x\: =\: \frac{sin\: x}{cos\: x}, f'(x) \: =\:  sec^{2}\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: sin\: x$ dan $v\: =\: cos\: x,\: u'\: =\: cos\: x\:$ dan $v'\: =\: -sin\: x
$ Maka
$f(x)\: =\: \frac{u}{v}
$ $\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'.v\: -\: v'.u}{v^2}$
$= \frac{cos\: x.cos\: x\: -\: (-sin\: x.sin\: x )}{cos^2\: x}$
$= \frac{cos^2\: x\: +\: sin^2\: x ) }{cos^2\: x}$
$= \frac{1}{cos^2\: x}$
$= sec^2\: x$


2. Turunan Fungsi Cotangen
$f(x)\: =\: cot\: x\: =\: \frac{sin\: x}{cos\: x},\:  f'(x) \: =\: -cosec^2\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: cos\: x$ dan $v\: =\: sin\: x, \: u'\: =\: -sin\: x$ dan $v'\: =\: cos\: x$
Maka
$f(x) \: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{-sin\: x.sin\: x\: -\: cos\: x.cos\: x )}{sin^2\: x}$
$= \frac{-(sin^2\: x\: +\: cos^2\: x) }{sin^2\: x}$
$= \frac{-1}{sin^2 x}$
$= -cosec^2\: x$

3. Turunan Fungsi Secan
$f(x)\: =\: sec\: x\: =\: \frac{1}{cos\:x},\: f'(x) \: = sec\: x tan\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: 1\: dan\: v\: =\: cos\: x, \: u'\: =\: 0$ dan $v'\: =\: -sin\: x$
Maka
$f(x) \: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v}\: =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{0.cos\: x\: -\:(-sin\: x.1 )}{cos^2\: x}$
$= \frac{sin\: x) }{cos x^2}$
$= \frac{sin\: x) }{cos x^2}.\: \frac{1) }{cos\: x}$
$= sec\: x. tan\: x$

4. Turunan Fungsi Cosecan
$f(x)\: =\: cosec\: x\: =\: \frac{1}{sin\: x},\: f'(x)\: =\: -cosec\: x.cot\: x$
Bukti:
Menggunakan aturan hasil bagi,
Misalkan $u\: =\: 1$ dan $v\: =\: sin\: x, \: u'\: =\: 0$ dan $v'\: =\: cos\: x$
Maka
$f(x)\: =\: \frac{u}{v}$
$\frac{d}{dx}\: \frac{u}{v} =\: \frac{u'v\: -\: v'u}{v^2}$
$= \frac{0.sin\: x\: -\: (cos\: x.\:1)}{sin^2\: x}$
$= \frac{-cos\: x)}{sin^2\: x}$
$= -\frac{cos\: x) }{sin\: x}.\: \frac{1)}{sin\: x}$
$= -cosec\: x .cot\: x$

Read More

Turunan Fungsi Eksponensial Umum

Turunan Fungsi Eksponensial Umum

(bilangan dasar a)

Sifat
$1.\:    y=a^{x}$ maka $y’= a^{x}ln\:a$, dengan $a>0$, $a\neq 1$
Bukti:
$y=a^{x}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln\:y=ln\:a^{x}$
$ln\:y=x. \:ln\:a$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=1. \:ln \:a$
$y’=y. \:ln \:a, y=a^{\:x}$
$y’= a^{\:x} ln \:a $
(terbukti)

$2.\:    y=a^{\:u(x)}$ maka $y’= a^{\:u(x)}. \:u’(x). \:ln\: a$
Bukti:
$y=a^{\:u(x)}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln \:y=ln \:a^{\:u(x)}$
$ln \:y= u(x). \:ln\: a$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=u’(x). \:ln\: a$
$y’= y. \:u’(x).ln\: a$, dimana $y=a^{\:u(x)}$
$y’= a^{\:u(x)}. \:u’(x).ln\: a$
(terbukti)

contoh:
$1.\:    Carilah \:turunan dari y= 3^{\:x^{2}\:+\:ln \:x}!$
Penyelesaian:
$y= 3^{\:x^{2}\:+\:ln\: x}$
misal $u(x)= x^{2}+ln\: x, u’(x)=2x\:+\:\frac{1}{x}$
$y=3^{\:u(x)}$
$y’=3^{\:u(x)}. \:u’(x). \:ln\: 3$
$y’=(2x\:+\:\frac{1}{x}).\:3^{\:x^{2}\:+\:ln \:x }.\:ln \:3$

Read More

Turunan Fungsi Eksponesial Asli

Turunan Fungsi Eksponensial Asli

(bilangan dasar e)

$y=ln$ $x$ sehingga $x=e^{y}$
Sifat Eksponensial Asli:
$1.1.$    $ln$ $e$ $=1$

$1.2.$    $y= e^{x}$ sehingga $x=ln$ $y$
Bukti:
$y= e^{x}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln$ $y= ln $ $e^{x}$
$ln$ $y=x.ln$ $e$, berdasarkan sifat 1 maka
$ln$ $y=x.1$
$ln$ $y=1$

$1.3.$    $y=e^{ln\:x}$ maka $y = x$
kedua ruas dikenakan ln
$ln\:y=ln$ $e^{ln\:x}$
$ln\:y=ln$ $x.ln e$
$ln\:y=ln$ $x.1$
$ln\:y=ln$ $x$
kedua ruas dikenakan e menjadi
$e^{ ln\:y}= e^{ln x}$
$y = x$ (terbukti)

Sifat Turunan Eksponensial Asli
$2.1$.    $y=e^{x}$ maka $y’=e^{x}$
Bukti:
$ln \:y=ln e^{x}$
$ln \:y=x ln\:e$
$ln \:y=x$
kedua ruas diturunkan.
$\frac{y’}{ y}=1$
$y’=y, y=e^{x}$
$maka y’= e^{x}$

$2.2.$    $y= e^{u(x)}$ maka $y’= u’(x).e^{u(x)}$
Bukti:
$y= e^{u(x)}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln \:y=ln\:e^{\:u(x)}$
$ln \:y=u(x).ln\:e$
$ln \:y=u(x).1$
$ln \:y=u(x)$
kedua ruas diturunkan
$\frac{y’}{ y}=u’(x)$
$y’=u’(x).y, y=e^{u(x)}$
$y’=u’(x). e^{u(x)}$

contoh:
$1.$    Carilah turunan $y=e^{3x^{2}+6}$!
penyelesaian:
misal $u(x)= 3x^{2}+6, u’(x)=6x$
menggunakan sifat 2.2
$y’= u’(x).e^{u(x)}$
$y’=6x.e^{3x^{2}+6}$

Read More

Turunan Fungsi Logaritma Umum

Turunan Fungsi Logaritma Umum

Sifat:

$y=^{a}log x$, maka $y’=\frac{1}{ x.ln a}$ , dengan $a>0$, a tidak sama dengan 1
Bukti:
$y=^{a}log x$ maka $x=a^{y}$
kedua ruas dikenakan ln
$ln x=ln a^{y}$
$ln x=y ln a$
$y=\frac{ln x}{ ln a}$
kedua ruas diturunkan
$y’=\frac{1}{ ln a}.\frac{1}{x}=\frac{1}{x.ln a}$
(terbukti)

$y=^{a}log(u(x))$ maka $y’=\frac{u’(x)}{u(x). ln a}$
Bukti:
$y=^{a}log(u(x))$
$y=\frac{ln u(x)}{ln a}$
kedua ruas diturunkan
$y’=\frac{1}{ ln a}.\frac{1}{ u(x)}.u’(x)$
$y’=\frac{u’(x)}{u(x). ln a}$

contoh:
Carilah turunan $y=^{3}log(sin x^{2})$!
Penyelesaian:
$y=^{3}log(sin x^{2})$
$y=\frac{ln sin x^{2}}{ln 3}$, misalkan $u(x)= sin x^{2}, u’(x)=2x.cos x^{2}$
$y=\frac{ln u(x)}{ln 3}$
$y=ln u(x). \frac{1}{ln 3}$
kedua ruas diturunkan, maka
$y’=\frac{1}{ln 3}.\frac{1}{ u(x)}.u’(x)$
$y’=\frac{1}{ln 3}.\frac{1}{ sin x^{2}}.2x.cos x^{2}$
$y’=\frac{2x.cos x^{2}}{ln 3. sin x^{2}}, \frac{cos x^{2}}{sin x^{2}}=cot x^{2}$
$y’=\frac{2x}{ln 3}cot x^{2}$.

Read More

Turunan Fungsi Logaritma Asli

Turunan Logaritma Asli

Definisi:
$ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t} dt, x>0.$
Berdasarkan teorema kalkulus II,

$D_{x} ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t} dt=\frac{1}{x}$

Sifat-sifatnya:
1. $ln a.b= ln a + ln b$
2. $ln (\frac{a}{b})=ln a – ln b$
3. $ln a^{r}=r * ln a$
4. $ln e = 1$, e = bilangan natural.


$y=ln(u(x))$
menggunakan aturan rantai
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx} = \frac{1}{dx}.u’$

Contoh:
1) $ y=ln(x^{2}-3x+1)$
misalkan $u= x^{2}-3x+1 $
$y’=\frac{1}{dx}.u’$
$=\frac{1}{ x^{2}-3x+1}.2x-3$

2) $y=ln((\frac{1-x}{1+x}))$
menggunakan sifat nomor (2).
$=ln(1-x)-ln(1+x)$
$=\frac{-1}{1-x}-\frac{1}{1+x}$
$=\frac{-(1+x)-(1-x)}{1-x^{2}}$
$=\frac{-2}{1-x^{2}}$
$=\frac{-2}{ x^{2}-1}$

Read More